Thèse : Évolution des mesures et contrôle optimal de systèmes dynamiques quasi-dissipatifs à l'aide de relaxations Moment-SOS

Résumé

L’optimisation des systèmes dynamiques non linéaires est difficile, et l’on exploite généralement des propriétés structurelles particulières des dynamiques pour analyser leur évolution et concevoir des lois de commande. Une classe de systèmes au cœur de cette thèse est celle des systèmes dynamiques quasi-dissipatifs, que l’on peut voir comme des systèmes comportant une composante dissipative perturbée par un terme additionnel. Compte tenu des limites des méthodes classiques d’optimisation pour de tels systèmes, cette thèse développe un cadre unifié pour leur analyse et leur optimisation au moyen de techniques de relaxation par mesures. La hiérarchie moments–sommes de carrés (SOS) constitue la principale motivation computationnelle de cette approche, car elle fournit des solutions globalement optimales avec des garanties de convergence.

Les méthodes classiques de commande et d’optimisation deviennent difficiles à appliquer lorsque les dynamiques comportent des discontinuités, des contraintes unilatérales ou des applications multivoques.
Nous étendons le formalisme de relaxation mesure-théorique à ces contextes non lisses. La première contribution établit une formulation rigoureuse de l’évolution de mesures pour les processus de balayage du premier ordre, en démontrant l’existence, l’unicité et une représentation de superposition des solutions à valeurs mesures. Une approche de régularisation fonctionnelle et un schéma de transport optimal discrétisé en temps sont développés pour approximer ces solutions, avec des garanties de convergence pour des métriques de Wasserstein. Dans ce cadre, nous formulons une relaxation semi-définie basée sur la hiérarchie moments–SOS pour résoudre le problème d’évolution de mesures.

La deuxième contribution traite de la commande optimale des processus de balayage via des techniques de relaxation par mesures. Nous montrons que la relaxation en un programme linéaire dans l’espace des mesures n’introduit aucun écart de relaxation, en temps continu comme en temps discret. En utilisant des outils de la théorie du transport optimal, nous prouvons la convergence du problème discrétisé vers le problème continu lorsque le pas d’échantillonnage tend vers zéro. Une relaxation semi-définie fondée sur moments–SOS est proposée pour résoudre le problème de commande optimale à valeurs mesures.

Enfin, le cadre est étendu aux équations d’évolution non linéaires quasi-dissipatives sur des espaces de Hilbert, incluant des EDP semilinéaires et de type réaction–diffusion. Nous montrons que la formulation par mesures de ces problèmes de dimension infinie reste exacte, sans écart de relaxation, et nous proposons une hiérarchie moments–SOS convergente afin d’obtenir des approximations numériques certifiées.

Dans l’ensemble, cette thèse combine l’analyse variationnelle, le transport optimal et la programmation semi-définie pour fournir des formulations convexes globalement convergentes pour une large classe de problèmes de commande optimale non lisses et de problèmes d’EDP.

Abstract

Optimization of nonlinear dynamical systems is challenging, and one typically exploits specific structural properties of the dynamics to analyze their evolution and design control laws. A particular class of systems that is central to this thesis is that of quasi-dissipative dynamical systems, which can be viewed as systems with a dissipative component perturbed by an additional term. Given the limitations of classical optimization methods for such dynamical systems, this thesis develops a unified framework for their analysis and optimization using measure relaxation techniques. The moment–sums-of-squares (SOS) hierarchy is the main computational motivation for this approach, as it provides globally optimal solutions with convergence guarantees.

Classical control and optimization methods become difficult to apply when system dynamics involve discontinuities, unilateral constraints, or set-valued mappings. We extend the measure-theoretic relaxation formalism to these nonsmooth settings. The first contribution establishes a rigorous formulation of measure evolution for first-order sweeping processes, proving existence, uniqueness, and a superposition representation of measure-valued solutions. A functional regularization approach and a time-discretized optimal transport scheme are developed to approximate these solutions, with convergence guarantees in Wasserstein metrics. Within this framework, we formulate a moment–SOS based semidefinite relaxation to solve the measure evolution problem.

The second contribution addresses optimal control of sweeping processes using measure relaxation techniques. We show that relaxing to a linear program in the space of measures introduces no relaxation gap in both continuous and discrete time. Using tools from optimal transport theory, we prove convergence of the discretized problem to the continuous one as the sampling interval tends to zero. A moment-SOS based semidefinite relaxation is proposed to solve the measure-valued optimal control problem.

Finally, the framework is extended to quasi-dissipative nonlinear evolution equations on Hilbert spaces, including semilinear and reaction diffusion partial differential equations. We show that the measure formulation of these infinite dimensional problems remains exact, with no relaxation gap, and we propose a convergent moment-SOS hierarchy to obtain certified numerical approximations.

Overall, the thesis combines variational analysis, optimal transport, and semidefinite programming to provide globally convergent convex formulations for a broad class of nonsmooth optimal control and PDE problems.