Thèse : Analyse et commande robuste de systèmes en dimension infinie connectés aux bords à des systèmes de dimension finie

Résumé

De nombreux systèmes combinent des dynamiques de dimension finie, décrites par des équations différentielles ordinaires (EDO), avec des phénomènes distribués dans l'espace, décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP), tels que la propagation de la chaleur ou les retards de communication. Cette thèse étudie la stabilité et les performances de tels systèmes interconnectés EDP-EDO à l'aide d'outils numériquement exploitables fondés sur les contraintes quadratiques intégrales (Integral Quadratic Constraints, IQC) et les inégalités matricielles linéaires (Linear Matrix Inequalities, LMI).

La première contribution développe une méthode fondée sur des projections pour analyser des équations de la chaleur couplées à des EDO sur leurs frontières. Des approximations polynomiales et des bornes sur l'énergie permettent de construire une hiérarchie de conditions de stabilité de plus en plus précises. La deuxième contribution introduit un cadre descripteur flexible pour les systèmes de dimension finie soumis à plusieurs incertitudes, ainsi que des techniques de relèvement permettant de réduire le conservatisme tout en maintenant un coût de calcul raisonnable. Enfin, ce cadre est étendu aux systèmes couplés EDP-EDO et validé sur une équation de transport interconnectée à une EDO, permettant de retrouver un résultat de stabilité connu.

Abstract

Many systems combine finite-dimensional dynamics, described by ordinary differential equations (ODEs), with phenomena distributed across space, described by partial differential equations (PDEs), such as heat propagation or communication delays. This thesis studies the stability and performance of such interconnected PDE-ODE systems using computationally tractable tools based on Integral Quadratic Constraints (IQCs) and Linear Matrix Inequalities (LMIs).

The first contribution develops a projection-based method for analysing heat equations coupled with ODEs at their boundaries. Polynomial approximations and energy bounds generate a hierarchy of increasingly accurate stability conditions. The second introduces a flexible descriptor framework for finite-dimensional systems affected by multiple uncertainties, together with lifting techniques that reduce conservatism while keeping the computational problem manageable. Finally, this framework is extended to coupled PDE-ODE systems and validated on a transport equation interconnected with an ODE, recovering a known stability result.