Calculs symboliques-numériques et applications

Le développement de nouveaux résultats en calcul formel et arithmétique des ordinateurs en synergie avec la théorie de l’optimisation a permis d'améliorer la précision, la fiabilité et la rapidité de certaines classes d'algorithmes numériques, dont certains sont directement issus de problèmes concrets du domaine spatial. En particulier, nous nous sommes concentrés sur l’implémentation et l’évaluation efficaces et fiables, en précision fixe, de fonctions élémentaires et spéciales (telles que la probit, c'est-à-dire la fonction de répartition inverse de la loi normale standard), ainsi que d’autres routines numériques (comme la transformée de Fourier rapide ou l’arithmétique des quaternions). Un avantage clé de notre approche réside dans la combinaison des propriétés symboliques des fonctions D-finies (solutions d’équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux) avec des routines numériques performantes, issues de la théorie de l’approximation ou de l’optimisation. Cela a conduit au développement d'algorithmes efficaces pour l'évaluation de certaines intégrales. Dans ce cadre, la résolution validée (en donnant de bornes d'erreur effectives) de ces équations différentielles linéaires via des développements en séries de Taylor, Chebyshev a montré son efficacité sur le calcul de certaines intégrales abéliennes. En outre, nous avons aussi exploité le cadre plus général des fonctions D-finies multivariées pour résoudre un problème inverse impliquant des mesures à densités holonomes et un support à frontière algébrique réelle. Dans la même veine, les hiérarchies de Lasserre ont été également utilisées pour l'approximation du volume d'une union d'ensembles semi-algébriques modélisant la probabilité de collision pour les rencontres spatiales long terme. À l’inverse, les outils d’optimisation semi-infinie, initialement étudiés dans le cadre du contrôle optimal pour des problèmes d'optimisation de trajectoires spatiales, ont été adaptés pour répondre à une question théorique et pratique d’approximation en précision finie des implémentations numériques de fonctions élémentaires. Enfin, nous avons récemment utilisé les séries génératrices D-finies pour borner l’erreur d’arrondi d’un de nos algorithmes d’évaluation de la probabilité de collision orbitale, adopté et embarqué par le CNES lors d'une mission de test scientifique.

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