Dans le cadre de l’évolution temporelle de phénomènes quantiques, l’équation de Schrödinger, pouvant prendre différentes formes (en dimension finie ou infinie) et dont l’état évolue dans le plan complexe, s’impose comme le modèle approprié. Cette thèse a pour double projet d’explorer, en parallèle, 1/ les modélisations simplifiées et physiquement pertinentes de phénomènes complant une dynamique de la mécanique quantique et une dynamique de la mécanique classique et 2/ les problématiques du contrôle ou de la stabilité de ces modèles. On peut penser, au choix, au contrôle par intensité laser de molécules, ou bien au couplage quantique/classique d’une molécule et d’un actionneur.

L’objectif est plus précisément d’étudier des systèmes de dimension infinie, modélisés par le couplage d’une équation aux dérivées partielles (EDP) de type Schrödinger, posée en domaine spatial borné, et soumise à des conditions de bords dynamiques, décrites par des équations différentielles ordinaires (EDO). Ce couplage appartient à une classe de systèmes dynamiques couplant la dimension infinie (EDP) à la dimension finie (EDO) qui permet de modéliser beaucoup de phénomènes physiques. C’est également une classe de systèmes qui permet de distinguer une modélisation techniquement exigeante d’une partie du phénomène d’intérêt, liée à l’EDP et une précision plus pragmatique inclue dans le choix d’une EDO pour une autre partie, par exemple celle liée à un contrôleur, ou à un composant de ce phénomène.

L’équipe MAC s’est déjà intéressé à des cas concernant des couplages avec des phénomènes diffusif (EDP de type chaleur), vibratoires (EDP de type ondes), retard (EDP de type transport). Les retombées attendues sont essentiellement théoriques mais devraient d’une part s’inspirer d’une bibliographie en contrôle quantique pour la partie modélisation (plusieurs modélisations existent dans la littérature de physique des modèles semi-classiques ou hybrides quantiques-classiques) et d’autre part s’appuyer sur les outils usuels de l’automatique classique qui fonctionnent encore en dimension infinie, comme la théorie de Lyapunov, les équations de Riccati ou encore les méthodes de Galerkin (approximations de dimension finie par projection de la dynamique).

Les principaux outils nécessaires pour ces études trouvent racine dans la théorie de Lyapunov aussi bien pour la dimension finie (ODE) que la dimension infinie (EDP), le principe de LaSalle ou les inégalités matricielles linéaires (LMI). Plus généralement, une bonne maitrise de l’algèbre linéaire, de l’analyse fonctionnelle, et des espaces de Hilbert et de Sobolev sera requise. Enfin, les algorithmes permettant des simulations numériques seront développés sous MATLAB et/ou Python.

Aspects novateurs du sujet de thèse proposé :

• Modélisation de phénomènes hétérogènes quantique/classique par des systèmes dynamiques couplés ;
• Consolidation des outils méthodologiques pour l’étude de la commande/stabilité de systèmes EDP ;
• Considération de couplages EDP-EDO ou l’EDP est multidimensionnelle ;
• Contributions en contrôle basé événement dans un cadre quantique.
  

Contrat proposé et profil souhaité :

Une bourse de l'École Doctorale Systèmes (ED 309 - EDSYS) sera dédiée pour l'année 2024. Elle couvrira trois années de doctorat (du 01/09/2024 au 31/08/2027) au LAAS-CNRS dans l'équipe Mac, sous la direction de Lucie Baudouin et Nicolas Augier. Il est également possible d'effectuer des tâches d'enseignement en tant qu'allocataire moniteur pendant ces trois années.

Les candidats doivent être titulaires d'un Master en mathématiques appliquées ou en automatique, avec une solide expérience dans les domaines suivants :

• Équations aux dérivées partielles
• Analyse de stabilité des systèmes dynamiques
• Théorie du contrôle

De plus, les compétences suivantes seront appréciées :

• Un fort intérêt pour la modélisation physique et ses applications
• Programmation pour la simulation des EDP et l'implémentation des lois de contrôle sous MATLAB et/ou Python.

Les candidats intéressés sont priés de contacter les encadrants par mail: Lucie Baudouin lucie.baudouin@laas.fr ou Nicolas Augier nicolas.augier@laas.fr.