L’heureux mariage du calcul formel et de l’optimisation

L'amélioration des algorithmes utilisés dans la reconstruction de volumes constitue un progrès pour les nombreuses technologies qui y ont recours, comme l'imagerie médicale. Mioara Joldes de l'équipe ROC - Recherche Opérationnelle, Optimisation Combinatoire et Contraintes, et Jean-Bernard Lasserre de l'équipe MAC - Méthodes et Algorithmes de Commande,  ainsi que Florent Bréhard, ancien doctorant au sein de l'équipe ROC et de l'ENS de Lyon, et actuellement post-doctorant en Suède à l’université d’Uppsala, ont obtenu le prix du Distinguished Paper Award pour une nouvelle approche qu'ils proposent dans ce but, fondée sur la théorie des fonctions holonomes. Il leur a été remis au mois de juillet lors de l’International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC 2019) à Pékin.

Méconnues du grand public mais très prisées en calcul formel, les fonctions holonomes sont les solutions des équations différentielles¹ dont les coefficients sont des polynômes. Cette propriété particulière permet de les représenter et de les manipuler de manière exacte grâce à des algorithmes efficaces. « Environ 60% des fonctions de l’ouvrage de référence Handbook of Mathematical Functions² sont holonomes, affirme Mioara Joldes. Les chercheurs en calcul formel développent des algorithmes pour les calculer de manière uniforme et en obtenant une réponse exacte. Cela évite les risques d’erreurs en parcourant un livre et en recopiant des tables de valeurs. »

Leur publication primée, "On moment problems with holonomic functions" présente un nouvel algorithme permettant la reconstruction de formes à partir de données non spatiales, appelées moments. À titre d'exemple, des appareils comme un tomographe ou une IRM ne relèvent en effet pas des positions sur l'objet étudié, mais des informations sur la façon dont celui-ci réagit lorsqu'il est soumis à une onde émise par la machine.  En multipliant les mesures à des fréquences différentes, on obtient suffisamment de moments pour procéder à la reconstruction. Dans l'algorithme proposé, la théorie des fonctions holonomes permet de remonter à la forme produisant de tels moments, qui est celle de l’objet étudié.

La nouveauté de ces travaux tient dans le fait qu’ils fonctionnent également si la cible n’est pas uniformément dense et que, au-delà de leur seule forme, ses parties ne répondent pas toutes de la même manière à la sollicitation. Ces variations de densité sont alors elles aussi mesurées et fidèlement reproduites.

« Ce prix donne une visibilité à l’étude des problèmes de moments avec des outils issus du calcul formel, se félicite Mioara Joldes. Nous avons montré que des objets algébriques pouvaient avoir un intérêt pour une reconstruction numérique efficace. » Présentés à la conférence ISSAC, ces algorithmes ouvrent la voie à des travaux complémentaires. Les instruments physiques produisent par exemple des mesures forcément sujettes à une marge d’erreur, qui impacte les moments et donc la fidélité de la forme reconstruite. Les chercheurs vont donc continuer à utiliser des outils du calcul formel et de l’analyse numérique pour étudier ces aspects et proposer d’autres applications potentielles.

A gauche : trait noir = frontière de la vraie forme | trait bleu = reconstruction numérique à partie de moments mesurés avec faible précision

A droite : trait bleu = frontière de la forme à reconstruire | trait noir : fonction de répartition de la densité

À consulter également sur l'Actualité de l'INS2I

Retrouvez les travaux "On Moment Problems with Holonomic Functions"

Contact chercheurs : Mioara Joldes, chargée de recherche dans l'équipe ROC ; Jean-Bernard Lasserre : directeur de recherche dans l'équipe MAC