Évaluer des probabilités de collision en orbite : un algorithme de calcul symbolique-numérique aussi fiable que rapide pour être embarqué à bord

Kessler et Gravity.

Si le grand public a sans doute pris conscience pour la première fois de la menace constituée par la prolifération des débris spatiaux en orbite terrestre avec la sortie en 2013 du film Gravity, « le syndrome de Kessler », identifiant le scénario catastrophe d'une croissance exponentielle du nombre d'objets en orbite terrestre à cause d'un enchaînement de collisions entraînant en retour un risque encore accru de collisions, est bien connu des acteurs du domaine spatial depuis le début des années 80. En effet, depuis 65 ans, des objets artificiels actifs (les satellites militaires, météorologiques ou de communication, station spatiale internationale) ou inactifs (satellites hors d’usage, étages de lanceurs, débris issus de collisions précédentes) sont présents dans l'environnement spatial terrestre sur différentes orbites et notamment sur les orbites basses et géostationnaires qui sont particulièrement encombrées. Quoique rares jusqu’à présent, des collisions en orbite terrestre ont déjà été documentées, telle que la première répertoriée en 1996, entre le satellite de reconnaissance militaire français Cerise et un débris d'une fusée Ariane. Ainsi, le nombre d'objets actifs ou inactifs en orbite n'a cessé d'augmenter ces dernières décennies du fait de collisions intentionnelles (comme le récent test de missile anti-satellite effectué par la Russie le 15 Nov. 2021 qui a généré environ 1500 débris) ou non-intentionnelles. On estime qu'il y aurait environ 23 milles objets de plus de dix centimètres, 500 milles entre 1 et 10 cm et plus de 100 millions de moins d'un centimètre. Seulement un tiers parmi ceux de plus de dix centimètres sont opérationnels, le reste étant des anciens satellites, des morceaux de fusées, des outils perdus par des astronautes, c'est-à-dire, des débris orbitaux... Cette situation contraint les satellites et les vaisseaux spatiaux opérationnels (comme la station spatiale internationale – 5 en 2014 et 4 en 2015) à faire régulièrement des corrections de trajectoire afin d'esquiver ces débris suite à des alertes déclenchées par des procédures d’évaluation du risque de collision.

Figure : Illustration des ellipsoïdes d'incertitudes
 en position associées avec une distribution Gaussienne

Évaluation du risque de collision spatiale.

À partir du catalogue des objets orbitaux de plus de 10 cm de diamètre, constitué et maintenu par le réseau de surveillance spatiale des États-Unis (United States Space Surveillance Network), une estimation statistique des trajectoires respectives de ces objets est construite. En effet, les différents objets répertoriés ont des positions et des vitesses qui ne sont pas connues exactement en pratique du fait des incertitudes affectant leur environnement spatial ainsi que du fait des imprécisions du processus de restitution de leurs paramètres orbitaux à chaque instant. Les modèles de rencontre entre deux objets, les plus usuels et permettant l’évaluation du risque de collision, reposent sur une modélisation aléatoire gaussienne des incertitudes de position relative entre les deux objets. Cela signifie que la position d'un objet spatial à un instant donné, est seulement connue comme située dans un ellipsoïde avec une certaine probabilité. Le volume de cet ellipsoïde est fonction de la description statistique de l’incertitude à travers la donnée de la matrice de covariance par le processus de restitution d’orbite. L’évaluation du risque de collision revient donc à calculer la probabilité de collision qui est définie comme une intégrale en deux dimensions d’une distribution gaussienne sur un disque sous certaines hypothèses simplificatrices caractérisant un très grand nombre de rencontres (les rencontres dites rapides impliquant une grande vitesse relative entre les deux objets en conjonction).
À partir du catalogue des objets orbitaux de plus de 10 cm de diamètre, constitué et maintenu par le réseau de surveillance spatiale des États-Unis (United States Space Surveillance Network), une estimation statistique des trajectoires respectives de ces objets est construite. En effet, les différents objets répertoriés ont des positions et des vitesses qui ne sont pas connues exactement en pratique du fait des incertitudes affectant leur environnement spatial ainsi que du fait des imprécisions du processus de restitution de leurs paramètres orbitaux à chaque instant. Les modèles de rencontre entre deux objets, les plus usuels et permettant l’évaluation du risque de collision, reposent sur une modélisation aléatoire gaussienne des incertitudes de position relative entre les deux objets. Cela signifie que la position d'un objet spatial à un instant donné, est seulement connue comme située dans un ellipsoïde avec une certaine probabilité. Le volume de cet ellipsoïde est fonction de la description statistique de l’incertitude à travers la donnée de la matrice de covariance par le processus de restitution d’orbite. L’évaluation du risque de collision revient donc à calculer la probabilité de collision qui est définie comme une intégrale en deux dimensions d’une distribution gaussienne sur un disque sous certaines hypothèses simplificatrices caractérisant un très grand nombre de rencontres (les rencontres dites rapides impliquant une grande vitesse relative entre les deux objets en conjonction).

Un algorithme rapide et fiable pour le calcul de la probabilité de collision.

Dans le cadre de la modélisation des conjonctions rapides décrites, une méthode fondée sur des techniques de calcul symbolique/numérique (théorie des fonctions définies et des développements asymptotiques) et exploitant les propriétés mathématiques de la fonction de probabilité de collision a été développée en 2016 par des chercheurs du LAAS-CNRS et du LIP^[1]. Cette méthode a trouvé une concrétisation effective dans un algorithme numérique fiable et rapide pour lequel des garanties de précision (entendue au sens de combien de chiffres retournés par l’algorithme sont corrects) sont conjointement fournies avec le calcul propre de la probabilité de collision. D'abord implémenté et mis à l’épreuve sur un très grand nombre des cas pratiques issus d’une base de données par le CNES, il vient d'être embarqué et testé en vol à bord du satellite ESOC OPS-SAT 3-Units CubeSat via le logiciel ASTERIA du CNES ^[2] dans le cadre plus général d’une procédure d’évitement de collision pour laquelle le calcul de manœuvres d’évitement repose précisément sur cet algorithme. Cette réussite montre que le calcul formel peut fournir les outils théoriques et algorithmiques nécessaires pour concevoir des implémentations très efficaces en pratique.

Les nouveaux défis.

Ce premier succès n'est qu'une étape vers l'objectif plus large des collaborations entre les chercheurs du LAAS-CNRS et le CNES, afin de trouver des solutions aux nouvelles problématiques posées par le nouvel âge spatial (New Space). En effet, avec l’arrivée de nouveaux acteurs privés développant des projets de méga-constellations de satellites (Starlink de SpaceX ou le projet Kuiper prévu par Amazon), l’évaluation du risque ainsi que l’évitement de collision au sein de ces formations très denses d’engins deviennent des enjeux cruciaux pour une exploitation raisonnable et sûr de l’espace. Le risque de collision devenant ainsi plus important mais aussi plus fréquent à analyser, il sera donc crucial de disposer d’outils numériques d’évaluation efficaces et fiables.

Références :
[1] R. Serra, D. Arzelier, M. Joldes, J.-B. Lasserre, A. Rondepierre, and B. Salvy, Fast and accurate computation of orbital collision probability for short-term encounters, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 39, no. 5, pp. 1009–1021, 2016
[2] J. Thomassin, S. Laurens, F. Toussaint, ASTERIA: Autonomous collision risks management, 72nd International Astronautical Congress (IAC), Dubai, United Arab Emirates, 25-29 October 2021.

Contacts :
Mioara Joldes, équipe ROC, mioara.maria.joldes@laas.fr
Denis Arzelier, équipe ROC, denis.arzelier@laas.fr