Retour au site du LAAS-CNRS

Résumé

Introduite il y a une dizaine d'années au LAAS/CNRS, la "Représentation Diffusive" est une théorie parvenue à maturité, tant du point de vue de ses fondements théoriques que des techniques développées lors de sa mise en Suvre dans diverses applications. Elle est essentiellement dédiée à l'analyse, l'approximation et la synthèse, dans un cadre distributionnel adapté, d'opérateurs de type "pseudo-différentiel", dont l'usage s'avère incontournable dans bien des situations en modélisation, approximation, estimation-contrôle, tout particulièrement (mais ce n'est pas la seule raison possible) lorsque certains des phénomènes impliqués ont une origine plus ou moins répartie, souvent mal connue. Les méthodes classiques sont alors généralement peu efficaces voire inutilisables pour décrire et maîtriser de façon correcte et, surtout, constructive au plan algorithmique, les comportements complexes rencontrés, particulièrement lorsque le nombre de variables significatives en jeu est élevé. Au contraire, en associant, dans une dualité bien définie, aux opérateurs leur "symbole" et aux objets leur "représentation diffusive", l'approche du même nom conduit naturellement à des représentations d'état puissantes, concrètement utilisables et riches des nombreuses propriétés héritées des modèles de diffusion. Dans un premier temps, on présente rapidement les grandes lignes de la théorie en insistant sur ses caractères spécifiques. On décrit ensuite plusieurs applications concrètes pour lesquelles lutilisation de la représentation diffusive s'est avérée décisive dans la résolution du problème (domaines concernés: analyse des systèmes, signal-image, modélisation-identification, contrôle).

Abstract

The theory of "Diffusive Representation" was introduced at LAAS/CNRS about ten years ago and can be nowadays considered as coming to mature, from the points of view of its theoretical bases as well as the various techniques elaborated during several applications to concrete problems. This theory is devoted essentially to analysis, approximation and synthesis of pseudodifferential operators in a fitted distributional framework. Such operators indeed revel themselves at the center of many situations in modelling, numerical simulation, filtering and control, in particular (but it is not the only reason) when some of the involved phenomena are more or less of distributed nature and often ill-known. In such cases, classical methods are in general inefficient to correctly describe or numerically simulate most of the encountered complex behaviors, in particular when the number if significant variables increases. In opposite, by associating, in a suitable duality, their "symbol" to the operators under consideration and their "diffusive representation" to the objects on which these operators act, the diffusive representation approach leads straightforwardly to powerful state-space formulations, convenient and well-adapted to concrete problems and endowed with a lot of nice properties inherited from diffusive equations. In the firs part of this work, we briefly present the bases of this theory and underline its specific features. We next describe several applications in which the use of the diffusive representation approach reveals itself decisive. The related fields are systems analysis, signal, modelling-identification and control.

Mots-Clés / Keywords

Opérateurs intégraux; Opérateurs pseudo-différentiels; Causalité; Représentation détat; Diffusions; Distributions; Approximations; Integral operators; Pseudodifferential operators; Causality; State-space representation;