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Abstract

We consider integrodifferential equations of the abstract form H(t)¦ = G()¦+f, where H(t) is a diagonal convolution operator and G() is a linear anti-selfadjoint differential operator. On the basis of an original approach devoted to integral causal operators, we propose and study a time-local augmented formulation under the form of a Cauchy problem t¨ = A¨+Bf such that ¦ = C¨. We show that under a suitable hypothesis on the symbol H(p), this new formulation is dissipative in the sense of a natural energy functional. We then establish the stability of numerical schemes built from this time-local formulation, thanks to the dissipation of appropriate discrete energies. Finally, the efficiency of these schemes is highlighted by concrete numerical results relating to a model recently proposed for 1D acoustic waves in porous media.

Mots-Clés / Keywords

Integrodifferential equation; Partial differential equations; Convolution operator; Diffusive representation; Numerical scheme; Cauchy problem; Energy functional; Stability condition;

Abstract

The problem under consideration relates to a model of porous wall devoted to aircraft motors noise reduction. For such a medium, the parameters of the propagation equation depend on the frequency, so the corresponding time-model involves non rational convolution operators. Consequently, the impedance of the wall is a non rational function of the frequency. On the basis of complex analysis and causality properties, we introduce infinite dimensional state formulations of these operators. The coupling of the so-obtained model with a standard aeroacoustic one then leads to a time-local system whose analysis is simplified thanks to the existence of an energy functional in the sense of which the global dissipativity is insured. Some numerical results are given to illustrate the theoretical results.

Mots-Clés / Keywords

Porous medium; Aeroacoustic waves; Boundary control; Diffusive representation; State representation; Non rational operator; Energy functional; Energy balance;

Abstract

Dynamic models most of time involve differential equations, which are time-local. Such models can also be considered globally, that is in the sense of trajectories in the state space-time. Up to adapted concepts, such a different interpretation reveals itself more flexible, namely because it allows to use various operatorial transformations whose time-local equivalent in general cannot exist and from which can result some remarkable properties. Namely, we introduce a principle of parametrizing for dynamic equations by means of such transformations. We then consider an example of bioreactor model for which we highlight how suitable timenonlocal transformations can sometimes be used to efficiently solve some nonlinear control problems.

Mots-Clés / Keywords

Dynamic systems; Operator; Time scale transformation; Control; Fed-batch;

Résumé

Les modèles dynamiques sont souvent composés d'équations différentielles, qui sont locales en temps. De tels modèles peuvent également être considérés au sens des trajectoires, en tant qu'équations fonctionnelles. Une telle interprétation s'avère être plus générique et plus flexible, entre autre du fait qu'elle autorise l'utilisation de diverses transformations opératorielles qui n'ont pas leur équivalent lorsque l'on se restreint aux formulations locales en temps. On introduit dans ce papier un principe de paramétrage opératoriel pour les systèmes dynamiques au moyen de telles transformations. On considère ensuite un modèle de bio-réacteur afin d'illustrer comment des transformations non locales en temps judicieusement choisies peuvent être utilisées pour résoudre efficacement des problèmes de contrôle non linéaire.

Mots-Clés / Keywords

Système dynamique; Paramétrage opératoriel; Changement de temps; Contrôle; Réacteur fed-batch;

Abstract

In this paper, we present some improvements, in terms of accuracy and speed-up, for a particular well adapted Discontinuous Galerkin method devoted to the time-domain Maxwell equations. First, to reduce spurious modes on very distorted meshes, the addition of dissipative terms as penalization in the numerical scheme is studied and compared on examples. Second, in order to increase the efficiency of the method, a multi-class local time-stepping strategy is presented and its validation and advantages are highlighted on different examples.

Mots-Clés / Keywords

Maxwell's equations; Discontinuous Galerkin method; Local time-stepping;

Résumé

On considère un modèle de matériau poreux dédié à la réduction de bruit des moteurs d'avions par absorption aux parois. Les paramètres de l'équation de propagation dans un tel milieu dépendent de la fréquence, ce qui se traduit, dans le domaine temporel, par la présence d'opérateurs de convolution. A partir de leurs symboles, on établit une nouvelle formulation de ces opérateurs à la fois locale en temps et dissipative. Le couplage du modèle ainsi obtenu avec un modèle standard d'aéroacoustique conduit à un système local en temps dont l'analyse et la simulation sont simplifiées, notamment par l'existence d'une fonctionnelle énergie garantissant la dissipativité globale.

Mots-Clés / Keywords

Milieux poreux; Réduction de bruit d'avions; Aéroacoustique; Modèle fréquentiel; Operateurs convolutifs;