Objectifs scientifiques

La théorie de Lyapunov est à la base des résultats produits par les membres du groupe MAC.
Les travaux s’appuient sur l’utilisation de fonctions de Lyapunov pour garantir la stabilité et les performances (spécifications H2, H∞ ou impulse-to-peak) d’un système contrôlé en boucle fermée dans des contextes différents. Des fonctions de Lyapunov dépendant des paramètres sont ainsi construites pour traiter des problèmes de robustesse en se basant sur des polynômes de matrices. Ce cadre peut facilement être étendu au cas de systèmes incertains périodiques à temps discrets en considérant des fonctions de Lyapunov périodiques. Associées au principe d’invariance de LaSalle, les fonctions de Lyapunov quadratiques par morceaux sont utilisées pour déterminer des domaines de stabilité de systèmes présentant des non-linéarités. Des fonctionnelles de type Lyapunov-Krasovskii permettent de traiter le cas de systèmes à retard. Enfin, des fonctions de Lyapunov en dimension infinie sont construites pour des systèmes décrits par des modèles d’équations différentielles partielles (EDP). La théorie de Lyapunov permet également de traiter le cas de la synthèse par retour de sortie pour des systèmes linéaires ou non-linéaires pour lesquels, avec une procédure inverse, le contrôleur est construit en considérant une fonction de Lyapunov donnée. Dans ce contexte, le contrôleur peut aussi bien être continu qu’hybride (mixte continu-discret).

En parallèle de tous ces travaux basés sur la théorie de Lyapunov, des orientations théoriques alternatives sont aussi étudiées. Des propriétés de passivité et de faible gain sont recherchées. Les conditions de secteurs et les fonctionnelles de Lur’e sont ainsi utilisées pour traiter de problèmes combinant des non-linéarités et des incertitudes paramétriques. Ces résultats, qui entrent dans le cadre théorique de la dissipativité, permettent d’obtenir des contributions à l’analyse de robustesse, de spécifications de performance, ou à la synthèse de contrôleurs. La théorie de la séparation topologique représente aussi une voie de recherche alternative. Comme cela a été démontré sur certains problèmes de robustesse et pour les systèmes à retard, elle offre de nouvelles possibilités pour manipuler les systèmes implicites et réduire le conservatisme des approches existantes.

Les algorithmes constructifs produits par le groupe MAC sont caractérisés principalement par leur association à des outils numériques d’optimisation efficaces. L’un de ces outils est la programmation semi-définie (SDP) avec le formalisme associé des inégalités matricielles linéaires (LMI). Plus généralement, le groupe MAC est impliqué dans l’utilisation mais aussi le développement de méthodes d’optimisation pour résoudre les problèmes dérivés des théories décrites précédemment. Dans le cas des problèmes qui ne peuvent pas être mis sous forme LMI convexe, d’autres heuristiques basées, par exemple, sur les inégalités matricielles bilinéaires (BMI), sont proposées.

Cette optimisation simplement pragmatique est en fait à l’origine de nouvelles contributions théoriques. Par exemple, la technique des variables de relaxation n’est jamais qu’une reformulation de la dualité Lagrangienne permettant de mettre sous forme convexe des problèmes d’optimisation et d’évaluer le conservatisme de conditions suffisantes. Le problème généralisé des moments (GPM) est fortement relié à ce dernier point. Un GPM est un problème d’optimisation linéaire de dimension infinie sur un ensemble de mesures convexe, non traitable numériquement dans le cas général. Cependant, quand l’ensemble support des mesures est inclus dans un ensemble compact semi-algébrique et que les fonctions traitées sont des polynômes, alors on peut définir un algorithme numérique basé sur une succession de LMIs, qui fournit un séquence monotone non-décroissante de bornes inférieures convergeant vers la valeur optimale du GPM ; la convergence en temps fini peut même parfois être obtenue.

La théorie de la commande optimale est aussi impliquée dans la preuve de propriétés de contrôlabilité. Les problèmes inverses peuvent être vus comme une question duale dans la mesure où le problème est de déterminer les paramètres d’un système d’équations différentielles partielles (EDP) à partir de la mesure de la solution. Pour les systèmes non-linéaires, la commande optimale est aussi importante du fait de leurs connections avec les systèmes hybrides (pour la synthèse de lois de commande stabilisantes robustes sous-optimales) ou les  approches moments (pour le calcul numérique du contrôleur optimal via les  mesures d’occupation).